Pooyajoon

عضو پيشكسوت

اندیشه 1

درختهای فیثاغورس

با الهام از این ساختار می توان درختهای جالبی با استفاده از الگوریتم زیر ساخت:

1. مربعی رسم کنید.

2. یک مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین را از طرف وترش روی یک ضلع مربع قرار دهید.

3. روی دو ضلع آزاد مثلث مربع بسازید(دو مربع)

4. روی مربعهای اخیر مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین قرار دهید.

5. روی هر ضلع آزاد این مثلثها مربعی بسازید(4مربع)تکرار 4و5به دفعات زیاد شکلهای زیادی تولید می کند.

آیا باور می کنید که تصاویر زیر به وسیله همین الگوریتم ها توسط کامپیوتر تولید شده و واقعی نیستند؟

همه اینها نشانگر ارتباط تنگاتنگ ریاضیات با پدیده های هنری و طبیعی است.

Pooyajoon

عضو پيشكسوت

استدلال های گیج کننده ای برای اثبات این موضوع وجود دارد که اشتباه هر اثبات کجاتست؟

1-اثبات به وسیله جبر:فرض کنید در نتیجه:





2-اثبات به وسیله قاعده شرکت پذیری:








3- اثبات به وسیله آزمایش (پاردوکس ارسطو)

فرض کنید چرخی به شعاع متصل به چرخی دیگربه شعاع است این چرخها دور محوری می چرخند.یک چرخش کامل این دستگاه را درنظر بگیرید،هر دوچرخ جابه جایی یکسانی دارند،بنابراین محیط هردو مساوی است.محیط چرخ بزرگ ومحیط چرخ کوچک درنتیجه


4-اثبات به وسیله تجارب زندگی:

من اخیرا در یک حراجی به تابلوی:«دوتا به قیمت یکی »برخوردم. من فقط یکی از آ« کالاها را می خواستم،بنابراین از فروشنده مغازه پرسیدم:«قیمت فقط یکی ازاین کالاها چقدر است؟»فروشنده جواب داد:«همان قیمت دوتاازآنها »گفتم:«پس یکی همان دوتاست»

فروشنده:با اطمینان پاسخ داد:«بله!حتما هست!!» منبع:Mathorizon,Feb.1999

Pooyajoon

عضو پيشكسوت

هرم های باستان مصر ازجمله اسرار آمیز ترین مسائل باستان شناسانه به شمار میرود.بزرگترین هرم در ((جیزه))قرار دارد که در زمان فرعون بزرگ ((خوفر))یعنی سال پیش از میلاد شناخته شده و هنوز به صورت دست نخورده باقی مانده است.ارتفاع اولی آن متر ((تقریبا فوت))این هرم از بلوک های بزرگ سنگی ساخته شده است.که پس استخراج به شکل های منظم تراشیده شده وسپس به محل هرم حمل شده و با دقت وسواس گونه ای روی یکدیگر قرار داده شده است وطول یک ضلع مربع قاعده آن متر بوده است.

hارتفاع وa طول ضلع قاعده آن است حجم هرم به صورت زیر بیان می شود.

متر مربع

متر مرکعب

تقریبا میلیون متر مکعب

Pooyajoon

عضو پيشكسوت

سرگرمی علمی و آموزشی

«اراتستن»دانشمند وپژوهشگر یونانی سده سوم پیش از میلاد ملاحظه کرد که همه ساله در روز31خرداد به هنگام ظهر در شهر «سین»واقع در مصر خورشید مستقیما به ته چاهها می تابد.همزمان با آن در شهر اسکندریه (که در شمال شهر سینی ودر امتداد آن قرار گرفته است)یک چوب قائم ده فوتی،سایه ای برابر 16اینچ بر زمین می اندازد ومحل تلاقی مسیر تابش پرتوهای خورشید با انتهای چوب،زاویه 5/7درجه می سازد. وبا پذیرفتن این امر که زمین تقریبا کروی است و پرتوهای خورشید موازی یکدیگرند،اراتستن توانست تنها با یک محاسبه،محیط کره زمین را اندازه بگیرد.

همچنان که در شکل زیر می بینیم،خط EC خطی متقاطی است که بین دو پرتو موازی خورشید قرار گرفته است. از آنجا که زاویه های متبادل داخلی برابرند،داریم
می دانیم که زاویه مرکزی وکمان مربوط به آن رابطه مستقیم است.

بنابراین اگراین زاویه را در48ضرب کنیم ،قوس مقابل آن نیز48برابر می شود.( مایل )که این رقم بسیار دقیق ،طول محیط کره زمین است.

Pooyajoon

عضو پيشكسوت

قانون تقسیمات یا نسبت های طلایی

در قرن سوم قبل از میلاد توسط اقلیدس،فیلسوف وریاضیدان برجسته یونان کشف شد،این قانون توسط هنرمندان یونانی وسپس هنرمندان دوره رنسانس در قرن پانزدهم و شانزدهم ایتالیا مورد استفاده قرار گرفت وبعد از آن نیز،در آکادمی ها ومراکز آموزش هنر به عنوان قانونی رسمی در مورد ایجاد تناسبات زیبا پذیرفته شد. فرمول تقسیم طلایی عبارتست از تقسیم یک خط محدود به دوقسمت غیر مساوی به طوری که نسبت طول بخش بلندترآن به طول بخش کوتاهتر،مانند نسبت طول تمام پاره خط به طول بخش بلندتر باشد.


C



بخشهایی که ازاین تقسیم حاصل می شوند به طور تقریبی به نسبت8به13،5به8و21به 13وغیره است.که همه این نسبتها حدودا برابر6/1هستند وبه آن ،عدد طلایی گفته می شود. AB وتقسیمات مربوط به آن ،بارها در طول تاریخ وتمدن بشر در ابعاد بسیار گسترده مورد استفاده قرار گرفته اند.چنان که حتی نقاشها،تابلوهایشان را در بوم هایی می کشند که این نسبت درابعاد بکار رفته باشد.در کپی تابلو شام آخر اثرسالوادر دالی ،بخشی از یک لوستر که از سقف آویزان است آمده که بخشی از یک 20وجهی منتظم است که این نسبت در آن به کار رفته است.

این عدد،در رسم آرم انجمن ریاضی ایران نیز به کار رفته است این آرم یک پنج ضلعی منتظم است که در آن نسبت قطر به ضلع تقریبا6/1است.

همچنین،در رسم آرم انجمن ریاضی آمریکا که یک بیست وجهی منتظم است،از این نسبت استفاده شده است.

با استفاده استفاده از عدد طلایی وتقسیمات مربوط به آن ،مستطیلهای زیبایی به نام مستطیل های طلایی می شوند:

با رسم مستطیلی که عرض آن a یا همان ضلع مربع و طول آنb که برابر قطر مربع است،مستطیلی به دست می آید که دارای تناسب خاصی است و»مستطیل طلایی»نامیده می شود.

چنین مستطیل هایی در مقایسه با مستطیل هایی که بدون قانون وضابطه خاصی رسم شده اند،به چشم بسیارزیباتر می آیند .علاوه براین ،در صورتی که یک مربع رابر روی ضلع کوچک یک مستطیل طلایی رسم کنید،قسمت باقی مانده یک مستطیل طلایی خواهد بود،مجددا بر روی ضلع کوچک همان مستطیل باقیمانده یک مربع رسم می کنیم،باز هم قسمت طلایی خواهد بود،مجددا بر روی ضلع کوچک همان مستطیل باقیمانده یک مربع رسم می کنیم،باز هم قسمت باقیمانده مستطیل طلایی است.

به همین ترتیب،می توان ادامه داده مستطیل های طلائی به دست آورد

Pooyajoon

عضو پيشكسوت

برای آفریدن کیفیت های حسی وعاطفی گوناگون در یک اثرهنری،وجود تناسب وتعادل مختلف از ضروریات است.

اندیشه 6 ریاضیات وجهان هنر:

در یکی از اشعار پارسی داریم:هنر برتراز گوهر آمد پدید وبه راستی که ارزش ومقام هنرهرجامعه،ارزش ومقام خود آن جامعه است.در کاراکثر هنرمندان معروف به خصوص در کارهای تصویری،شاهد یک آرایش دلپذیر هنری هستیم که با قواعد ریاضی مطابقت دارند.





آنالیز هندسی تابلوی شام آخراثرلئوناردوداوینچی

v مربع مرکزی در میان دو مربع بزرگتر واقع شده است وبه حالت سطح کاملا در روبه روی ناظر قرار دارد.

v موقعیت هندسی آن را تقسیماتی که قطرهای مربع به وجود آورده است مشخص می کند.

v دومربع جدید که یکی در میان دیگری قرار گرفته،هم در بالای پنجره ها و هم در پایین و کناره میز دور تا دورچهره حضرت مسیح (ع)را احاطه کرده اند.

v خطوط مایل انتهای چهار سطح سمت راست و چهار سطح سمت چپ که به حالت قرینه روبروی هم قرارگرفته اند،در نقطه مرکزی برخورد می کنند.

v محل برخورد های خطوط به مهم ترین نقطه تابلو،در محل قرار گرفتن چهره مرکزی ختم می شود.

v سطح کلی تابلو نیز دارای تقسیمات متقارن است. در حالی که در جزئیات هیکل ها،شکل نامتقارن روابط هاهنگی به وجود آورده اند.

v در ساختمان کلی که براساس مربع های تودر تو بنا شده است،حرکتی ریتمیک ازبیرون به داخل ایجاد کرده است تا براهمیت موضوع مرکزی تأکید کند.



اندیشه7

شیئی را دارای خاصیت خود متشابهی می گوئیم که:قسمتهای ازآن با یک مقیاس معلوم،یک نمونه ازکل شیء باشد.

ساده ترین مثال ازیک شیئی خود متشابه در طبعت،گل کلم که هر قطعه کوچک گل کلم متشابه قطعه بزرگی از آن است. همین طور درخت کاج که هر یک از شاخه های آن خیلی شبیه یک درخت کاج است ولی درمقیاس خیلی کوچکتر هم چنین در مورد برگ سرخس نیز چنین خاصیتی وجود دارد،رشته کوهها،پشته های ابر،مسیررودخانه ها وخطوط ساحلی نیز همگی مثال هایی از یک ساختمان خودمتشابه و در مقیاس میکروسکپی بسیار پیچیده هستند.