ورود به حساب ثبت نام جدید فراموشی کلمه عبور
برای ورود به حساب کاربری خود، نام کاربری و کلمه عبورتان را در زیر وارد کرده و روی “ ورود به حساب” کلیک کنید.





اگر فرم ثبت نام برای شما نمایش داده نمیشود، اینجا را کلیک کنید.









اگر فرم بازیابی کلمه عبور برای شما نمایش داده نمیشود، اینجا را کلیک کنید.





نمایش نتایج: از 1 به 2 از 2
  1. #1
    Tinamo
    کاربر سایت
    تاریخ عضویت
    May 2009
    محل سکونت
    تهران
    نوشته ها
    813
    274
    924

    معادلات دیفرانسیل

    مقدمه

    معادله دیفرانسیل معادله‌ای است که شامل یک یا چند مشتق یا دیفرانسیل باشد. معادلات دیفرانسیل بر اساس ویژگیهای زیر رده بندی می‌شوند:

    نوع (عادی یا جزئی)

    • معادله شامل متغیر مستقل x ، تابع (y = f(x و مشتقات f را یک معادله دیفرانسیل عادی می‌نامیم.
    • معادله ای متشکل از یک تابع مجهول با بیش از یک متغیر مستقل همراه با مشتقات جزئی آن معادله دیفرانسیل جزئی می نامیم.

    مرتبه

    که عباترت است از مرتبه مشتقی که بالاترین مرتبه را در معادله دارد.

    درجه

    نمای بالاترین توان مشتقی که بالاترین مرتبه را در معادله دارد، پس از حذف مخرج کسرها و رادیکالهای مربوط به متغیر وابسته و مشتقاتش. معمولا یک معادله دیفرانسیل مرتبه n جوابی شامل n ثابت دلخواه دارد، این جواب را جواب عمومی می‌نامند.

    ساختار

    معادلات دیفرانسیل ساختارهای متفاوتی هستند و هر ساختار ویژگیهای متفاوتی دارد:



    • معادلات مرتبه اول از درجه اول
      • با متغیرهای جدایی پذیر
      • همگن
      • خطی (برنولی)
      • با دیفرانسیلهای کامل
    • معادلات مرتبه دوم
    • معادلات خطی با ضرایب ثابت: الف) همگن ب) ناهمگن.
    • تکنیکهای تقریب زدن: الف) سریهای توانی ب) روشهای عددی.

    صور مختلف معادلات دیفرانسیل

    معادله دیفرانسیل مرتبه اول از درجه اول را همواره می‌توان به صورت زیر در آورد که در آن M و N معرف توابعی از x و y هستند.



    Mdx + Ndy = 0

    در معادله فوق هرگاه M فقط تابعی از x و N فقط تابعی از y باشد. به صورت معادله جدایی پذیر مرتبه اول است. در این صورت با انتگرال گیری از هر جمله جواب بدست می‌آید. یعنی:



    M(x) dx+ ∫N(y) dy = C∫


    معادله دیفرانسیل همگن

    گاه معادله دیفرانسیلی را که متغیرهایش جدایی پذیر نیستند با تعویض متغیر می‌توان به معادله‌ای تبدیل کرد که متغیرهایش جدایی پذیر باشند، چنین معادله‌ای را همگن می‌نامند. معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول را همیشه می‌توان به صورت متعارف زیر در آورد که در آن P و Q توابعی از x هستند.



    dy/dx + py = Q

    معادله را که بتوان آن را به صورت:

    M (x,y) dx + N(x,y) dy = 0

    نوشت و دارای ویژگی زیر باشد کامل نامیده می‌شود. زیرا طرف چپ آن یک دیفرانسیل کامل است.



    M/∂y = ∂N/∂x∂


    معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم

    یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم در حالت کلی به صورت زیر است:



    F (x,y,dy/dx,d2y/dx2) = 0

    این گونه معادلات را معمولا با یک متغیر مناسب مثل dy/dx = p به معادلات دیفرانسیل نوع اول تبدیل کرد و با جاگذاری در معادله مربوط به روش معادلات دیفرانسیل مرتبه اول حل کرد.

    معادلات دیفرانسیل خطی

    معادله دیفرانسیل



    را که در آن توابع ، ، ... ، و بر بازه I پیوسته بوده و (an(x هرگز صفر نباشد یک معادله دیفرانسیل خطی مرتبه n ام می‌نامیم. که البته اگر در تعریف فوق (F(x مساوی صفر باشد، معادله دیفرانسیل D برای مشتق توابع معرفی می‌شود، سپس با نوشتن معادله کمکی p(r) = 0 و پیدا کردن صفرهای معادله (p(r جواب معادله همگن را پیدا می‌کنیم. در صورت ناهمگن بودن علاوه بر عملیات فوق ، جوابهای معادله ناهمگن را با شیوه های خاصی را پیدا کرده به جواب بالا اضافه می‌کنیم.

    حل معادلات دیفرانسیلی خطی مرتبه n ام به توسط سریهای توانی

    معادله دیفرانسیل


    را در نظر می‌گیریم که در آن x0 نقطه منفرد معادلات در این صورت با تغییر متغیر زیر به حل معادله می‌پردازیم:



    ، و ...

    همین طور با جاگذاری سری مربوط به (F(x و تجریه مناسب و مساوی قرار دادن دو طرف عبارت به حل معادله می‌پردازیم.

    کاربردها

    کاربردهای معادلات دیفرانسیل توصیف کننده حرکت سیارات ، که از قانون دوم نیوتن بدست می‌آیند، هم شامل شتاب و هم شامل سرعت می‌شوند.



    • در مورد حرکت موشکها در نزدیکی سطح زمین و در فضا ، معادلات دیفرانسیل پیچیده ترند.
    • مسائل فیزیکی زیادی بعد از فرمول بندی آنها به زبان ریاضی به معادلات دیفرانسیل منجر می‌شوند.
    • در رشته سینتیک شیمیایی ، معادلات دیفرانسیل نقش منحصر به فردی به عهده دارند.
    • همینطور در مواردی چون سود مرکب ، واپاشی رادیواکتیو – قانون سرمایش نیوتن و رشد جمعیت کاربرد فراوانی دارد.
    برنامه نویسی وب
    09127163972
    09360901792
  2. #2
    Tinamo
    کاربر سایت
    تاریخ عضویت
    May 2009
    محل سکونت
    تهران
    نوشته ها
    813
    274
    924
    حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی معمولاً بسیار سخت است که یک روش حل تحلیلی برای بسیاری از معادلات دیفرانسیل پیدا کنیم. این مساله ممکن است به این خاطر باشد که، معادلات غیر خطی هستند یا اینکه دارای ضریبی هستند که با زمان تغییر می‌کند. برای مثال در معادلات دیفرانسیل خطی ضریب‌دار، هرچه مرتبه بیشتر باشد حل آن سخت‌تر می‌شود. یا بخاطر اینکه ورودی‌های زیادی دارد در شرایط مختلف مشکل تر است. روش‌های زیادی وجود دارد که جواب معادلات دیفرانسیل را تقریب می‌زند. این روش‌ها، نام‌های گوناگونی دارند : روش‌های عددی، انتگرال عددی یا راه حل‌های تقریبی.
    تمام روش‌هایی که در اینجا بیان شده راه حل دقیق را ایجاد نمی‌کند و فقط یک تقریب به‌دست می‌آید. چون این روش‌ها دارای محاسبات زیادی هسند، تنها جواب‌هایی در فواصل زمانی مجزا می‌دهند. مشخصا جواب‌ها در زمان ابتدایی شرایط وفاصله زمان‌های مشخص، h، بدست می‌آید. (i.e., at t=to, to+h, to+۲.h,... , to+k.h).
    این پیچیدگی ادامه دارد زیرا، این روش‌ها فقط برای حل معادلات دیفرانسیل مرتبه اول معتبر هستند. به هرحال محدودیت جدی برای معادله مرتبه nام وجود ندارد زیرا می‌تواند به n تا معادله دیفرانسیل مرتبه اول تبدیل شود. برای بوجود آوردن این روش‌ها برای حل معادلات مرتبه nام، مساله را به حالت‌های جداگانه تقسیم کرده و سپس برای هر مرحله زمانی روش حل را بکار می‌بریم تا جواب را برای مرحله بعدی بدست آوریم.

    روش اویلر برای معادلات دیفرانسیل مرتبه اول

    ساده ترین روش برای حل عددی معادلات دیفرانسیل، روش اویلر است که الان توضیح داده می‌شود. معادله دیفرانسیل مرتبه اول زیر را در نظر بگیرید :
    در زمان t۰ شروع می‌کنیم. مقدار y(t۰+h) را می‌توان توسط y(t۰) بعلاوه زمان تغییر حالت ضرب در شیب تابع تقریب زد. که مشتق y(t) است.
    ما این تقریب را y*(t) می‌نامیم.
    بنابرین اگر بتوانیم مقدار dy/dt را در زمان t۰ محاسبه کنیم، می‌توانیم مقدار تقریبی y در زمان t۰+h را حدس بزنیم. سپس این مقدار جدید y(t۰) را استفاده کرده، دوباره dy/dt را حساب و این کار را تکرار می‌کنیم. به این روش متد اویلر می‌گوییند.

    توسط این پیش زمینه ساده روش اویلر برای معادلات دیفرانسیل مرتبه اول بصورت زیر است :
    ۱) در زمان t۰ شروع کنید، یک مقدار برای h در نظر بگیرید، سپس شرایط ابتدایی y(t۰) را حساب کنید. ۲) از طریق y(t۰) مشتق y(t) را در زمان t=t۰ حسب کنید. آنرا k۱ بنامید. این شیب توسط خط قرمز در شکل بالا نشان داده شده‌است.
    ۳) از این مقدار، مقدار تقریبی y*(t۰+h) را حساب کنید.
    ۴) قرار دهید t۰=t۰+h، y(t۰)=y*(t۰+h) ۵) مراحل ۲ تا ۴ را آنقدر تکرار کنید تا جواب به دست آید.



    روش اویلر برای معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتر

    روشی که در بالا بیان شد برای تقریب معادلات دیفرانسیل مرتبه اول کاربرد داشت، ولی بطور واضح نمی‌توان این جواب را برای معادلات دیفرانسیل مراتب بالاتر قبول کرد. ترفندی که در اینجا بکار می‌رود، تقسیم کردن آن به معادلات دیفرانسیل مراتب پایین تر است. این روش «آنالیز حالت‌های متغییر» نامیده می‌شد.



    روش Runge – kutta مرتبه دوم

    بطور واضح بین درستی و پیچیدگی محاسبات و مقدار انتخاب شده h وابستگی زیادی وجود دارد. بطور کلی هرچه مقدار h کوچک‌تر شود، محاسبات طولانی تر ولی دقیق تر می‌شود. حال اگر مقدار h خیلی کوچک شود، برای اینکه نمی‌توان آنرا به درستی در کامپیوتر نشان داد خطا ایجاد می‌شود. برای سیستم‌های مرتبه بالاتر، تقریب اویلر بسیار سخت است. به همین دلیل، دقت بالاتر و تکنیک‌های با جزییات بیشتر ساخته شد. ما در مورد متدی بحث می‌کنیم که توسط دو ریاضیدان به اسمهای Runge و Kutta ساخته شده‌است.

    این تکنیک برای مشتق تابع y(t) در t۰ از متد اویلر استفاده می‌کند. از k۱ نیز برای بدست آوردن مقدار اولیه y(t۰+h) استفاده می‌کنیم. از y*(t۰+h) می‌توانیم مقدار مشتق y(t) را در t۰+h حساب کنیم که آنرا k۲ می‌نامیم. سپس میانگین این دو مشتق را k۳ می‌نامیم.
    روش RK۲، تقریب را از طریق تخمین زدن بیشتر این تقریب، از روی فاصله شیب حساب می‌کند. روش اویلر مشتق را در y(t۰) حساب کرده و از آن در تقریب y(t۰+h) استفاده می‌کند.

    بصورت الگوریتم می‌توانیم روش RK۲ را استفده کنیم :
    ۱) در زمان t۰ شروع به محاسبات می‌کنیم. ۲) در زمان t۰، مشتق y(t) را حساب کرده و آنرا k۱ می‌نامیم.


    ۳) مقدار ابتدایی y*(t۰+h) را حساب کرده و فرمول اویلر را استفاده می‌کنیم.


    ۴) از y*(t۰+h) مشتق y(t) را در t۰+h حساب کرده و آنرا k۲ می‌نامیم.
    ۵) مقدار جدید y*'(t۰+h) را از میانگین k۱ وk۲ محاسبه میکنیم.
    ۶) قرار دهید y(t۰) = y*'(t+۰h) و t۰ = t۰+h ۷) مراحل ۲ تا ۶ را تکرار کنید تا جواب بدست آید.

    معادله ریکاتی:
    معادله غیر خطی و درجه اول (dx/dy=p(x)y+q(x)y^2+r(x را معادله ریکاتی گویند. برای حل این معادله یکی از جواب ها را حدس می زنیم مثلا y1 سپس با جایگزین کردن عبارت y=y1+1/v که v تابع x است در معادله v را بدست می آوریم.
    برنامه نویسی وب
    09127163972
    09360901792
نمایش نتایج: از 1 به 2 از 2

اطلاعات موضوع

کاربرانی که در حال مشاهده این موضوع هستند

در حال حاضر 1 کاربر در حال مشاهده این موضوع است. (0 کاربران و 1 مهمان ها)

کلمات کلیدی این موضوع

مجوز های ارسال و ویرایش

  • شما نمیتوانید موضوع جدیدی ارسال کنید
  • شما امکان ارسال پاسخ را ندارید
  • شما نمیتوانید فایل پیوست کنید.
  • شما نمیتوانید پست های خود را ویرایش کنید
  •