معادله دیفرانسیل معادلهای است که شامل یک یا چند [فقط كسانی ميتوانند لينكها را مشاهده كنند كه عضو سايت باشند. ] یا دیفرانسیل باشد. معادلات دیفرانسیل بر اساس ویژگیهای زیر رده بندی میشوند:
نوع (عادی یا جزئی)
معادله شامل متغیر مستقل x ، تابع (y = f(x و مشتقات f را یک معادله دیفرانسیل عادی مینامیم.
معادله ای متشکل از یک تابع مجهول با بیش از یک متغیر مستقل همراه با مشتقات جزئی آن معادله دیفرانسیل جزئی می نامیم.
مرتبه
که عباترت است از مرتبه مشتقی که بالاترین مرتبه را در معادله دارد.
درجه
نمای بالاترین توان مشتقی که بالاترین مرتبه را در معادله دارد، پس از حذف مخرج کسرها و رادیکالهای مربوط به متغیر وابسته و مشتقاتش. معمولا یک معادله دیفرانسیل مرتبه n جوابی شامل n ثابت دلخواه دارد، این جواب را جواب عمومی مینامند.
ساختار
معادلات دیفرانسیل ساختارهای متفاوتی هستند و هر ساختار ویژگیهای متفاوتی دارد:
معادله دیفرانسیل مرتبه اول از درجه اول را همواره میتوان به صورت زیر در آورد که در آن M و N معرف توابعی از x و y هستند.
Mdx + Ndy = 0
در معادله فوق هرگاه M فقط تابعی از x و N فقط تابعی از y باشد. به صورت معادله جدایی پذیر مرتبه اول است. در این صورت با [فقط كسانی ميتوانند لينكها را مشاهده كنند كه عضو سايت باشند. ] از هر جمله جواب بدست میآید. یعنی:
M(x) dx+ ∫N(y) dy = C∫
معادله دیفرانسیل همگن
گاه معادله دیفرانسیلی را که متغیرهایش جدایی پذیر نیستند با تعویض متغیر میتوان به معادلهای تبدیل کرد که متغیرهایش جدایی پذیر باشند، چنین معادلهای را همگن مینامند. معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول را همیشه میتوان به صورت متعارف زیر در آورد که در آن P و Q توابعی از x هستند.
dy/dx + py = Q
معادله را که بتوان آن را به صورت:
M (x,y) dx + N(x,y) dy = 0
نوشت و دارای ویژگی زیر باشد کامل نامیده میشود. زیرا طرف چپ آن یک دیفرانسیل کامل است.
M/∂y = ∂N/∂x∂
معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم
یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم در حالت کلی به صورت زیر است:
F (x,y,dy/dx,d2y/dx2) = 0
این گونه معادلات را معمولا با یک متغیر مناسب مثل dy/dx = p به معادلات دیفرانسیل نوع اول تبدیل کرد و با جاگذاری در معادله مربوط به روش معادلات دیفرانسیل مرتبه اول حل کرد.
معادلات دیفرانسیل خطی
معادله دیفرانسیل
را که در آن توابع ، ، ... ، و بر بازه I پیوسته بوده و (an(x هرگز صفر نباشد یک معادله دیفرانسیل خطی مرتبه n ام مینامیم. که البته اگر در تعریف فوق (F(x مساوی صفر باشد، معادله دیفرانسیل D برای مشتق توابع معرفی میشود، سپس با نوشتن معادله کمکی p(r) = 0 و پیدا کردن صفرهای معادله (p(r جواب معادله همگن را پیدا میکنیم. در صورت ناهمگن بودن علاوه بر عملیات فوق ، جوابهای معادله ناهمگن را با شیوه های خاصی را پیدا کرده به جواب بالا اضافه میکنیم.
حل معادلات دیفرانسیلی خطی مرتبه n ام به توسط سریهای توانی
معادله دیفرانسیل
را در نظر میگیریم که در آن x0 نقطه منفرد معادلات در این صورت با تغییر متغیر زیر به حل معادله میپردازیم:
، و ...
همین طور با جاگذاری سری مربوط به (F(x و تجریه مناسب و مساوی قرار دادن دو طرف عبارت به حل معادله میپردازیم.
کاربردها
کاربردهای معادلات دیفرانسیل توصیف کننده حرکت سیارات ، که از [فقط كسانی ميتوانند لينكها را مشاهده كنند كه عضو سايت باشند. ] بدست میآیند، هم شامل [فقط كسانی ميتوانند لينكها را مشاهده كنند كه عضو سايت باشند. ] و هم شامل [فقط كسانی ميتوانند لينكها را مشاهده كنند كه عضو سايت باشند. ] میشوند.
در مورد حرکت موشکها در نزدیکی سطح زمین و در فضا ، معادلات دیفرانسیل پیچیده ترند.
مسائل فیزیکی زیادی بعد از فرمول بندی آنها به زبان ریاضی به معادلات دیفرانسیل منجر میشوند.
در رشته سینتیک شیمیایی ، معادلات دیفرانسیل نقش منحصر به فردی به عهده دارند.
همینطور در مواردی چون سود مرکب ، واپاشی رادیواکتیو – قانون سرمایش نیوتن و رشد جمعیت کاربرد فراوانی دارد.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
با سلام و عرض ادب
به تعدادی بازاریاب جهت فروش سامانه پیام کوتاه ، گرفتن پروژه طراحی سایت و شبکه (در تهران و اطراف تهران) نیازمندیم
برای گرفتن اطلاعت بیشتر با شماره 09127994399 تماس بگیرید
نام شرکت : پارنما پردازان کابر (شماره ثبت 380863)
وب سایت شرکت : [فقط كسانی ميتوانند لينكها را مشاهده كنند كه عضو سايت باشند. ]
2 کاربر از شما به خاطر پست مفیدتان تشکر کرده اند :
حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی معمولاً بسیار سخت است که یک روش حل تحلیلی برای بسیاری از معادلات دیفرانسیل پیدا کنیم. این مساله ممکن است به این خاطر باشد که، معادلات غیر خطی هستند یا اینکه دارای ضریبی هستند که با زمان تغییر میکند. برای مثال در معادلات دیفرانسیل خطی ضریبدار، هرچه مرتبه بیشتر باشد حل آن سختتر میشود. یا بخاطر اینکه ورودیهای زیادی دارد در شرایط مختلف مشکل تر است. روشهای زیادی وجود دارد که جواب معادلات دیفرانسیل را تقریب میزند. این روشها، نامهای گوناگونی دارند : روشهای عددی، [فقط كسانی ميتوانند لينكها را مشاهده كنند كه عضو سايت باشند. ] یا راه حلهای تقریبی.
تمام روشهایی که در اینجا بیان شده راه حل دقیق را ایجاد نمیکند و فقط یک [فقط كسانی ميتوانند لينكها را مشاهده كنند كه عضو سايت باشند. ] بهدست میآید. چون این روشها دارای محاسبات زیادی هسند، تنها جوابهایی در فواصل زمانی مجزا میدهند. مشخصا جوابها در زمان ابتدایی شرایط وفاصله زمانهای مشخص، h، بدست میآید. (i.e., at t=to, to+h, to+۲.h,... , to+k.h).
این پیچیدگی ادامه دارد زیرا، این روشها فقط برای حل معادلات دیفرانسیل مرتبه اول معتبر هستند. به هرحال محدودیت جدی برای معادله مرتبه nام وجود ندارد زیرا میتواند به n تا معادله دیفرانسیل مرتبه اول تبدیل شود. برای بوجود آوردن این روشها برای حل معادلات مرتبه nام، مساله را به حالتهای جداگانه تقسیم کرده و سپس برای هر مرحله زمانی روش حل را بکار میبریم تا جواب را برای مرحله بعدی بدست آوریم.
روش اویلر برای معادلات دیفرانسیل مرتبه اول
ساده ترین روش برای حل عددی معادلات دیفرانسیل، روش اویلر است که الان توضیح داده میشود. معادله دیفرانسیل مرتبه اول زیر را در نظر بگیرید :
در زمان t۰ شروع میکنیم. مقدار y(t۰+h) را میتوان توسط y(t۰) بعلاوه زمان تغییر حالت ضرب در شیب تابع تقریب زد. که مشتق y(t) است.
ما این تقریب را y*(t) مینامیم.
بنابرین اگر بتوانیم مقدار dy/dt را در زمان t۰ محاسبه کنیم، میتوانیم مقدار تقریبی y در زمان t۰+h را حدس بزنیم. سپس این مقدار جدید y(t۰) را استفاده کرده، دوباره dy/dt را حساب و این کار را تکرار میکنیم. به این روش متد اویلر میگوییند.
توسط این پیش زمینه ساده روش اویلر برای معادلات دیفرانسیل مرتبه اول بصورت زیر است :
۱) در زمان t۰ شروع کنید، یک مقدار برای h در نظر بگیرید، سپس شرایط ابتدایی y(t۰) را حساب کنید. ۲) از طریق y(t۰) مشتق y(t) را در زمان t=t۰ حسب کنید. آنرا k۱ بنامید. این شیب توسط خط قرمز در شکل بالا نشان داده شدهاست.
۳) از این مقدار، مقدار تقریبی y*(t۰+h) را حساب کنید.
۴) قرار دهید t۰=t۰+h، y(t۰)=y*(t۰+h) ۵) مراحل ۲ تا ۴ را آنقدر تکرار کنید تا جواب به دست آید.
روش اویلر برای معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتر
روشی که در بالا بیان شد برای تقریب معادلات دیفرانسیل مرتبه اول کاربرد داشت، ولی بطور واضح نمیتوان این جواب را برای معادلات دیفرانسیل مراتب بالاتر قبول کرد. ترفندی که در اینجا بکار میرود، تقسیم کردن آن به معادلات دیفرانسیل مراتب پایین تر است. این روش «آنالیز حالتهای متغییر» نامیده میشد.
روش Runge – kutta مرتبه دوم
بطور واضح بین درستی و پیچیدگی محاسبات و مقدار انتخاب شده h وابستگی زیادی وجود دارد. بطور کلی هرچه مقدار h کوچکتر شود، محاسبات طولانی تر ولی دقیق تر میشود. حال اگر مقدار h خیلی کوچک شود، برای اینکه نمیتوان آنرا به درستی در کامپیوتر نشان داد خطا ایجاد میشود. برای سیستمهای مرتبه بالاتر، تقریب اویلر بسیار سخت است. به همین دلیل، دقت بالاتر و تکنیکهای با جزییات بیشتر ساخته شد. ما در مورد متدی بحث میکنیم که توسط دو ریاضیدان به اسمهای Runge و Kutta ساخته شدهاست.
این تکنیک برای مشتق تابع y(t) در t۰ از متد اویلر استفاده میکند. از k۱ نیز برای بدست آوردن مقدار اولیه y(t۰+h) استفاده میکنیم. از y*(t۰+h) میتوانیم مقدار مشتق y(t) را در t۰+h حساب کنیم که آنرا k۲ مینامیم. سپس میانگین این دو مشتق را k۳ مینامیم.
روش RK۲، تقریب را از طریق تخمین زدن بیشتر این تقریب، از روی فاصله شیب حساب میکند. روش اویلر مشتق را در y(t۰) حساب کرده و از آن در تقریب y(t۰+h) استفاده میکند.
بصورت الگوریتم میتوانیم روش RK۲ را استفده کنیم :
۱) در زمان t۰ شروع به محاسبات میکنیم. ۲) در زمان t۰، مشتق y(t) را حساب کرده و آنرا k۱ مینامیم.
۳) مقدار ابتدایی y*(t۰+h) را حساب کرده و فرمول اویلر را استفاده میکنیم.
۴) از y*(t۰+h) مشتق y(t) را در t۰+h حساب کرده و آنرا k۲ مینامیم.
۵) مقدار جدید y*'(t۰+h) را از میانگین k۱ وk۲ محاسبه میکنیم.
۶) قرار دهید y(t۰) = y*'(t+۰h) و t۰ = t۰+h ۷) مراحل ۲ تا ۶ را تکرار کنید تا جواب بدست آید.
معادله ریکاتی:
معادله غیر خطی و درجه اول (dx/dy=p(x)y+q(x)y^2+r(x را معادله ریکاتی گویند. برای حل این معادله یکی از جواب ها را حدس می زنیم مثلا y1 سپس با جایگزین کردن عبارت y=y1+1/v که v تابع x است در معادله v را بدست می آوریم.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
با سلام و عرض ادب
به تعدادی بازاریاب جهت فروش سامانه پیام کوتاه ، گرفتن پروژه طراحی سایت و شبکه (در تهران و اطراف تهران) نیازمندیم
برای گرفتن اطلاعت بیشتر با شماره 09127994399 تماس بگیرید
نام شرکت : پارنما پردازان کابر (شماره ثبت 380863)
وب سایت شرکت : [فقط كسانی ميتوانند لينكها را مشاهده كنند كه عضو سايت باشند. ]
2 کاربر از شما به خاطر پست مفیدتان تشکر کرده اند :
روش خرید: برای خرید پس از کلیک روی
دکمه زیر و تکمیل فرم سفارش، ابتدا محصول مورد نظر را درب منزل یا
محل کار تحویل بگیرید، سپس وجه کالا و هزینه ارسال را به مامور پست
بپردازید. جهت مشاهده فرم خرید، روی دکمه زیر کلیک کنید.
، 
، ... ، 
و 
بر بازه I پیوسته بوده و (an(x هرگز صفر نباشد یک معادله دیفرانسیل خطی مرتبه n ام مینامیم. که البته اگر در تعریف فوق (F(x مساوی صفر باشد، معادله دیفرانسیل D برای مشتق توابع معرفی میشود، سپس با نوشتن معادله کمکی p(r) = 0 و پیدا کردن صفرهای معادله (p(r جواب معادله همگن را پیدا میکنیم. در صورت ناهمگن بودن علاوه بر عملیات فوق ، جوابهای معادله ناهمگن را با شیوه های خاصی را پیدا کرده به جواب بالا اضافه میکنیم. 
، 
و ...
